以下のような方法で可能です。
Strix Unity SDKにはルームオーナーの変更を通知するイベントがあります。StrixNetwork.instance.roomSession.roomClient.RoomOwnerChangedイベントです。このイベントハンドラーで必要な処理を行うことができます。
イベントハンドラーを使用せず、Updateやコルーチンの途中でオーナー変更の有無を知りたい場合には、以前のルームオーナーを覚えておき、現在のルームオーナーと以前のルームオーナーを比較することで判定できます。StrixNetwork.instance.room.GetOwnerUid()によって現在のルームオーナーを表すUIDを取得し、以前のルームオーナーのUIDと比較します。なお、UIDはインターフェイスなので、UIDを比較する際には、== 演算子ではなく、Equalsメソッドを使用してStrixNetwork.instance.room.GetOwnerUid().Equals(previousRoomOwnerUid)のように比較してください。